Category: образование

Category was added automatically. Read all entries about "образование".

Паук С.В.

Интервью Владимира Воеводского (часть 2)

Оригинал взят у baaltii1 в Интервью Владимира Воеводского (часть 2)

Это продолжение интервью Владимира Воеводского. Первая часть была воспринята читателями с интересом. Мы благодарим за содержательные вопросы и продолжаем.



- Мне трудно представить, что происходит внутри человека атеистических взглядов, когда перед ним раскрываются необычные для него слои реальности. Для людей религиозного восприятия и воспитания это часть пути, состояния, в которых раскрываются новые аспекты бытия, это просто нормально, как без этого. Лично я с первого дыхания стремился к мистицизму, верил, искал, находил, бросался в секты и тайные общества. Тебя же, насколько понимаю, в определенный момент выбросило в «непонятное», бытие просто поставило перед лицом странной данности. Типа что делать, если на тебя смотрят ангелы, и после того, как ты закроешь глаза и откроешь их снова, ангелы будут продолжать на тебя смотреть?! То, что нормально и правильно для человека мистическо-религиозного воспитания, людей другого восприятия может запросто свести с ума.
 
- Наверное, мои взгляды на тот момент стоило бы назвать не столько атеистическими, сколько агностическими. Реакция была двоякая. Во-первых, возмущение, поскольку больше всего в открывшемся было грязи и издевательства над людьми. Во-вторых, восхищение и надежда, когда в этой грязи вдруг появлялись проблески любви, красоты и разума. 
 
С ума я не сходил, хотя иногда и были "заносы", когда я начинал всерьез верить в ту или иную "теорию". Как правило, эти заносы выправлялись быстро, обычно за несколько часов. Более серьезными были периоды безнадеги. В такие периоды очень помогала мысль о том, что нужно продолжать бороться, потому что от этого, пусть и в небольшой степени, зависит то, в каком духовном мире будут жить сегодняшние дети. 
 

Collapse )


Паук С.В.

нравится чел

https://ailev.livejournal.com/1505852.html

Жизнь показала, что люди честно не считают отдельные схемы из учебника системного мышления частями одной "большой схемы". Если говоришь "проектная роль", то они тут же вспоминают про предпочтения, но забывают, что роль выполняет практику. Если говоришь "интерес", то тут же вспоминают про предпочтение, но забывают о том, что ролевое описание/view отвечает на вопросы этого интереса ровно для того, чтобы понять, что там происходит с предпочтением, а сам интерес оформляется/framed ролевым методом описания/viewpoint. Все понятия учебника системного мышления применяются совместно, а не клочками. Если ты подумал о чём-то важном (помним, что понятия системного мышления представляют чеклист того, что нужно бы продумать), то подумай и о том важном, что связано с тем, о чём ты уже подумал. Если вспомнил про роль, то вспомни и об интересе, и о предпочтении, но также вспомни и о практике, и о ролевом описании, а также его методе описания! Это не так много: в жизни столько всего мелькает, воет и трясётся в проекте, отвлекая внимание, что фокусирование внимания на вот этих понятных и привычных ходах мысли экономит огромное количество времени.

Почему я сразу не привёл большую схему? Маленькие диаграммы уровня детского сада хороши (и они в учебнике есть), но большие диаграммы бесполезны. Я об этом подробно рассказываю в книжке "Визуальное мышление. Доклад о том, почему им нельзя обольщаться" (https://ridero.ru/books/vizualnoe_myshlenie/, в онлайн-курсе эта книжка есть как дополнительный материал к первой главе учебника). Вот вам несколько диаграмм из учебника системного мышления, которые я просто объединил через общие элементы. Семь альф я там подцветил, чтобы легче было ориентироваться (кликабельно):
большая диаграмма понятий системного мышления

Ну что, стало ли понятней?! Стал ли понятней хотя бы тезис, что "все эти диаграммы -- это просто выборки из одной большой схемы"? Будет ли теперь содержание учебника использоваться всё вместе, а не продолжать использоваться "подиаграммно"? Вот не факт, совсем не факт. У меня даже закралась мысль, что если убрать исходные диаграммы из текста, а оставить один текст, то это было бы лучше: текст был сложил в голове некоторое общее понимание, а диаграммы в учебнике только разорвали это общее понимание на клочки.

Большая диаграмма вообще непонятна, даже я смотрю на неё с ужасом, хотя сам сделал. А ведь все объекты и отношения там просто повторяют объекты и отношения из исходных диаграмм, добавил я совсем чуть-чуть -- понятие практики, чтобы показать связь роли и метода. Остальное всё "как было", ничего не добавлял, даже про три основных вида описаний (функциональное, конструктивное и размещений). Если представлять "полную диаграмму понятий системного мышления", то она была бы втрое сложней и окончательно нечитаема. Может, так и нужно было бы сделать, чтобы не разглядывали картинки, а сразу читали текст. Кто много читает, тот в мышлении обычно и выигрывает.

В любом случае: текст учебника описывает некоторую онтику системного мышления, части которой весьма тесно связаны друг с другом. И хотелось бы, чтобы целостность этой онтики была понятна. Чтобы не было клочковатости в мышлении, когда попавшие на диаграмму объекты и отношения вдруг вспоминаются, а не попавшие -- не вспоминаются. Нарезка на отдельные диаграммы была в целях удобства изложения онтики, а не в целях обрывочности её использования в мышлении! В мозгах нужно проложить рельсы между всеми понятиями, а не только между понятиями, попадающими на одну диаграмму в учебнике!

Клочковатость применения системного мышления -- это большая беда. Она была помянута позавчера в https://ailev.livejournal.com/1505327.html ("Как заштопать между собой основные блоки курса: кластер понятий вокруг ролей, вокруг методов описаний, вокруг собственно системных уровней, вокруг систем обеспечения"), а вчера проявилась в полной мере на занятии учебной группы моего курса системного менеджмента и стратегирования. Нужно срочно что-то с этим делать.
Паук С.В.

(no subject)

Выделение системных уровней. Пример танца. [Feb. 5th, 2020|03:16 am]

ailev
В воскресенье с потоком курсантов "Системного менеджмента и стратегирования", а сегодня со студентами НИУ ВШЭ разбирал системный взгляд на танец -- пример системных уровней из моего учебника. Танец интересен тем, что сложней какой-нибудь железяки, но много проще какого-нибудь предприятия. И он процессный, о нём не так-то просто думать, люди плохо думают о "поведениях", выделяя в них части и целые. Зачем дополнительный разбор в аудитории? Проще представить этот танец в физическом мире вживую, а сухое текстовой перечисление системных уровней в учебнике иногда даёт инсайт и пониманиев приложениях к личным проектам и ситуациям, а иногда до этого не дотягивает. А разбор в аудитории примера многократно повышает КПД понимания идеи системных уровней, люди вдруг получают достаточно материала, чтобы думать о системных уровнях в своей деятельности.

Давайте попробуем системно описать танец, но используем рендеринг (следуя идеям из https://ailev.livejournal.com/1494762.html): описывать будем не сухую схему системных уровней, а "добавим художественности" для пущей наглядности.

В центре Москвы в одном из клубов с 22 часов 13 минут по 22 часа 18 минут играет громкая музыка, царит полумрак, и двое танцуют сальсу. Почему нам так важно указать время и место? А чтобы было понятно, что речь идёт о физическом объёкте, который существует не только в пространстве, но и во времени (ибо студенты, если речь идёт только о пространстве с квалификацией "где-то" часто от физического объекта переходят к классу физических объектов, то есть рассматривают не систему, а абстрактный объект. А абстрактный объект не занимает места во времени и пространстве и в нём нет частей-подсистем. Наш танец тем самым вполне физичен: танцующая пара занимает место в пространстве-времени, по сути она и представляет собой танец).

Врач поглядывает на эту пару и явно доволен: партнёр не хромает, и это полное счастье -- все кости, мышцы, связки и т.д. целы, этот врач недавно починил всё, что касалось анатомического уровня. Остальных это не волнует, но врача до сих пор волнует: он ищет свидетельств в танце, что мышцы-кости-связки и прочее, чем он занимался в ходе лечения партнёра, работают как надо. Вроде всё ОК. И врач уходит с вечеринки. Тут мы должны обратить внимание, что каждым системным уровнем занимаются свои роли. И если мы хотим, чтобы система работала, должны хорошо отработать все эти роли. Чтобы танцевать, нужно здоровое тело. Если тело не здорово, своим делом должен заняться врач. И врача не волнует сам танец как таковой. Партнёр движется? Движется. Ему не больно? Не больно. Он ничего себе этим движением не повредит? Не повредит. Всё, кости-мышцы-связки целы, и врач может предоставить тело другим специалистам, которые займутся другими делами, помогут собрать танец в том числе из костей-мышц-связок и всего того, чем занимается обычно врач.

Специалист по телесным практикам внимательно смотрит на эту же танцующую пару и видит функциональные органы -- мышечные ленты, которые передают движение от точки опоры (ступни) партнёра через всё его тело к руке, а затем от руки партнёрши через всё её тело к другой точке опоры, ноге. Он проверяет, нет ли разрыва в этих лентах? Не перепряжено ли где тело, блокируя эти мышечные ленты? Отдельные мышцы, кости, связки тут как глина, из которой в домах делают кирпичи. Мы перешли уже на другой системный уровень, где тело здоровое, но нам нужно поставить его под контроль сознания: если я хочу передать движение от точки опоры аж до другой точки опоры, мне нужно иметь весьма специфическое внимание к телесным ощущениям напряжения и расслабления в теле, и нужно добиться правильной структуры мышц в теле. Специалист по телесным практикам, конечно, готовит управление телом и занимается свободой сознательного движения не только для танца. Он работает и для спортсменов-легкоатлетов, и для музыкантов (пальцами шевелить при игре на музыкальных инструментах -- мышечная работа!), и для занимающихся единоборствами. Но тут он сработал для танцоров, и он доволен: тела танцоров вполне свободно двигаются и обеспечивают connection (можете поглядеть видеоролик, где очень кратко рассказывается о том, как именно уровень телесных практик ответственен -- будет ли танцор студнем, тяжёлым или лёгким буратино, или же всё-таки танцором -- https://vk.com/wall-179019873_511). Но и тут -- речь ещё не идёт о танце.

Учитель танцев смотрит, как двигаются его ученики -- принимают эстетичные позы, осуществляют мягкое ведение и чуткое следование, не теряют баланс на поворотах. Тут речь уже идёт о танцах (а не дзюдо или конном спорте), но это ещё не сальса. Этому учить долго, это общая часть для всех социальных танцев.

А дальше стоит учитель сальсы и смотрит, как переступают ногами его ученики -- смотрит он на ту же пару, в тот же момент времени, но видит её совсем другими глазами, не как врач, не как специалист по телесным практикам. Он следит за тем, как танцоры попадают в ритм музыки, перенося вес с ноги на ногу и совершая при этом довольно специфические движения танца. Это мы будем называть "базой": то, как шагают танцоры. Так, в сальсе шаг делается на нужный счёт в музыке с весом на согнутую ногу, а затем нога распрямляется. И так весь танец. Этому учат, как "базе сальсы". Этому можно учиться долго. Вот описание того, что шагать можно как в армии, одинаково на каждом шаге, а можно делать нюансы -- и в простых шагах открывается целый мир: https://vk.com/wall-179019873_401.

Но рядом стоит приезжий кубинец-сенсей, который только что провёл семинар, и он наблюдает за следующим системным уровнем: он смотрит, как танцоры исполняют фигуры его танца: крутятся куда надо, шагают куда надо. Да, все шаги делаются так, как научил танцоров их учитель танцев, это "база". А вот сенсей научил фишкам, научил лексике. Это уровень лексики танца, специфических па, которые исполняют танцоры, сохраняя базу на каждом шаге, контролируя мышечные ленты в тот момент, когда они танцуют "базу", и задействуя свой опорно-мышечный аппарат (то, на что смотрел врач) для выполнения этой базы. И всё это одновременно!

Потенциальная партнёрша стоит на танцполе и внимательно смотрит на танец в целом как последовательность фигур, цепочку лексем, собираемую в целый танец, длящийся пять минут. Она оценивает: может ли партнёр сочинить приличный танец, в котором сбалансированы все известные партнёру фигуры, есть какие-то фишки, есть какая-то композиция. Это уровень танцевального перформанса в целом, уровень композиции -- какая будет рассказана в танце история, как сочетается ритм танца с ритмом музыки в каких-то больших структурах (не на уровне одного бита, не на уровне одного движения, а на уровне музыкальных фраз и более длинных структур). Уровень композиции подробней описан тут -- https://vk.com/wall-179019873_432. И заметим, что танцем (в нашем случае сальсой) могут назвать и вот этот пятиминутный перформанс на вечеринке. По факту делает его партнёр/lead: он сочиняет эту последовательность движений и ведёт партнёршу/follow, которая танцует по его сигналам. Но можно сальсой назвать и лексику сальсы (те фигуры, которые в перформансе делают танцоры), и даже базу (тот специфический способ шагать танцевальным шагом и двигать руками-ногами-корпусом, какой принят в конкретном танце). Так, мебелью можно назвать и всю мебель квартиры, и стол со стульями, и только стул -- всё мебель, но каждый раз приходится уточнять, что имеется ввиду. С танцем то же самое: нужно уточнять: база/стиль, лексика/фигуры или перформанс/композиция имеется ввиду под словом "танец".

А рядом стоит орг вечеринки, и оценивает вечеринку в целом. Ибо вечеринка состоит главным образом из перформансов танца, их множество одновременно идёт на танцполе, и ещё они следуют один за другим. Этот орг включает в своё рассмотрение и эти перформансы, и стоящих нетанцующих партнёров и партнёрш, и диджеев, и фотографов с видеографами, и даже гардеробщиков (ибо вечеринка начинается, как и театр, с вешалки). Что обсуждается на этом уровне? Почитайте социальные сети, в которых обсуждаются танцы. Вы обнаружите, что обсуждается больше всего именно этот уровень: сколько вы танцуете или не танцуете (потому как не с кем -- не нашлось пары, или партнёрша отказала в танце, или ещё что-то произошло), какое у вас после вечеринки настроение, на какую вечеринку нужно идти, чтобы нормально потанцевать (то есть получить хорошее настроение), какая должна на этих вечеринках играть музыка, чтобы после этого нормально потанцевать, и было хорошее настроение. И так далее: психология рулит, страсти кипят, всё крутится вокруг плохого или хорошего настроения на вечеринках, и ведущими практиками тут являются психология (какие у кого тараканы в голове по поводу себя и окружающих) и социология (групповое поведение). Вечеринку танцем не назовут.

Следующий системный уровень уже не имеет тех, кто им специально занимается, но иногда какие-то орги вечеринок, или преподаватели, или даже отдельные танцоры вдруг начинают обсуждать, как они развивают танцевальную культуру конкретного танца (в нашем случае сальсы). Ибо все вечеринки плюс все танцевальные школы, плюс все танцоры, все орги и прочие причастные и составляют субкультуру танца. Как об этом думать? А вот так и думать: есть субкультура сальсы, частью этой субкультуры является вечеринка в нашем клубе в конкретный вечер, частью вечеринки является перформанс, который проходит в этом клубе с 22 часов 13 минут до 22 часов 18 минут, а этот перформанс состоит из какой-то последовательности фигур/лексики танца, которые выполняются с учётом базы (как шагать и двигать телом: в каком стиле), которая сама включает в себя технику танцевального (а не спортивного) движения, которая включает в себя телесную работу мышечных лент, которая включает работу опорно-двигательного аппарата. Всё это одновременно, но вот изготавливают каждый из помянутых объектов разные деятельностные роли -- в обратном порядке это были врач, специалист по телесным практикам, учитель танцев, учитель сальсы, заезжий сенсей, партнёр, орг вечеринки сальсы/сальсатеки и отдельные деятели/развиватели субкультуры сальсы.

Дальше идёт субкультура социальных танцев в целом, но мы не будем её рассматривать, ибо трудно представить себе людей, которые занимаются развитием социальных танцев в целом, поддержанием этой субкультуры. В каждой песочнице субкультуры отдельных танцев есть люди, радеющие за развитие танца (три системных уровня называли танцем, помните?), и развитие уровня вечеринок и субкультуры в целом. А вот радеющих за все песочницы -- нет. Мало кто озабочен тем, чтобы было больше разных танцев, больше разных вечеринок, чтобы расцветали сто танцевальных цветов. Хотя что это я? Например, я озабочен. Субкультура социальных танцев интересует мультидансеров, которым мало вечеринок одних танцев и общения в рамках субкультуры одного танца. Вот их и интересует мир социальных танцев как таковой -- все вечеринки всех социальных танцев, все школы всех социальных танцев, все орги всех социальных танцев, все информационные ресурсы (чаты, форумы, группы в соцсетях, тематические вебсайты и т.д.) и всё-всё причастное.

Есть ли уровни выше? Конечно. Например, уровень танцевальной культуры в целом (включая бальные танцы, сольные танцы и т.д.). Хотя трудно представить людей, которые профессионально занимаются танцевальной культурой в целом. А системные уровни ниже анатомического/медицинского есть? Конечно! Например, биохимики могут заниматься биохимией работы мышц, которые чинит врач.

Особенность системного рассмотрения в том, что всё это существует в момент эксплуатации целевой системы (а у нас это перформанс танца сальсы в одном из клубов) и должно рассматриваться одновременно -- но разные роли вокруг целевой системы рассматривают что-то в этой целевой системе на своём системном уровне. Знание разных системных уровней позволяет организовать дело по проектированию и изготовлению систем. Производитель кирпичей берёт глину, изготавливает кирпичи. Каменщик изготавливает из кирпичей стену. Прораб из стен изготавливает здание. Застройщик из зданий изготавливает целый квартал. Архитектор города из кварталов делает город. Это всё системные уровни: разные люди работают с городом на разных системных уровнях -- кто с городом как целым, кто со зданиями города, кто с глиной кирпичей города. Хотя по системным уровням от города это уже так далеко, что фраза "глина кирпичей города" уже не звучит -- осмыслены подобные фразы, где упоминаются смежные системные уровни. Глина кирпичей или здания квартала.

А что можно сделать, если вот так думать про город и его системное разбиение, вот так думать про танец и его системное разбиение? Первое же, что можно сделать -- это поручить изготавливать танец (а именно -- научить танцоров) не одному человеку, а целой бригаде людей, профессионально выполняющих роли врача, специалиста по телесным практикам, учителя, сенсея, психолога (который будет править мозг участника вечеринки, чтобы не страдал три дня после какого-то отказа в танце -- ибо это страдание от одного отказа может легко перебить всё удовольствие от десятка перформансов/композиций). Собственно, мы так и сделали: мы начали учить социальному мультидансу (уровень телесной практики, уровень танцевального движения и уровень базы для избранных семи танцев), задействовав пару специалистов по этим трём уровням -- https://system-school.ru/multidance. И что получили? Поскольку мы понимаем, что мы делаем, то мы получили скорость обучения примерно впятеро выше, чем в среднем по другим школам танцев. Подход чисто инженерный. Вот, например, короткий курс, в котором двое специалистов (телесник и специалист по танцевальному движению) ставят ведение-следование в социальных танцах: https://system-school.ru/connection. За шесть часов работы удаётся сделать больше, чем за полгода занятий в студии танца "как обычно". При этом на этом курсе все шесть часов не звучит музыка! Зачем? Тренируется главным образом специфическая телесная техника в ведении-следовании, два тесно связанных между собой уровня танца. И заодно развеиваются мифы о том, что нужно "почувствовать друг друга", "познать сложный мир взаимоотношений мужчины и женщины" и т.д.. Это всё оставьте уровням композиции (где нужно рассказывать танцем эмоциональные истории), уровню вечеринки, уровню субкультуры. А тут чисто инженерная работа -- и это ещё до конкретного танца, до уровня базы, где начинается конкретный танец!

Системные уровни хороши как раз тем, что позволяют обсудить: кто что делает, и что можно не делать, и что нельзя не делать. Всё это будет разложено по полочкам, и сверхсложное станет более простым. Город можно обсуждать как состоящий из кварталов/зон застройки, кварталы как состоящие из зданий, здания как состоящие из стен, и никакого винегрета типа "кварталов из стен". С городом просто понимать, правда? С танцем -- сложней. А если нужно разобраться с предприятием, то это будет ещё сложней, чем с танцем. Но разобраться будет можно, и мышление о предприятии будет тем же самым: разные системные уровни, которыми занимаются разные роли. В этом и прелесть системного мышления: один раз понял, а затем используешь для всех систем, которые тебе встречаются.

Онлайн-курс системного мышления, где всё это обсуждается менее художественно и более подробно: https://system-school.ru/sm2019.
Паук С.В.

Бисмарк

https://navlasov.livejournal.com/170755.html

Бисмарк и "кухаркины дети"
Продолжаем разговор об отношении Бисмарка к системе образования. Сегодня - документ, который интересен не в последнюю очередь тем, что он был подготовлен 16 марта 1890 года. В самый разгар кризиса вокруг отставки Бисмарка, за два дня до того, как "железный канцлер" официально попросил освободить его от занимаемой должности. Уже одно это обстоятельство дает основание предположить, что Бисмарк считал рассматриваемый сюжет весьма значимым. Адресован документ был, разумеется, императору Вильгельму II.

"Главной проблемой наших высших школ [имеются в виду гимназии и университеты - Н.В.] является их избыток и искусственно создаваемые нашими учреждениями стимулы к их посещению. В результате у нас намного больше образованных молодых людей, чем необходимо и чем мы можем соответствующим образом материально обеспечить. Наши высшие школы посещают слишком много юношей, которым ни способности, ни происхождение родителей не дают оснований претендовать на интеллектуальную профессию. Следствием является переполненность учебных заведений и воспитание ученого пролетариата, опасного для государства. К указанному слою примыкает другой - "полуобразованные". Его появление объясняется тем, что мы предъявляем к качеству обучения в наших народных школах слишком высокие требования. В результате дети не хотят заниматься тем, что делали их родители, и ставят себе цели, которые они не могут достичь, из-за чего у них возникает недовольство. С каждым годом увеличивается число людей, которые ввиду полученного образования претендуют на уровень жизни, который они не могут себе обеспечить. Так у нас возникают те же условия, которые стали в России почвой для нигилизма.

Чтобы предотвратить подобного рода развитие, предлагаю в первую очередь ограничить число высших школ и возможность обучения в них, насколько это возможно в рамках закона. В любом случае, следует запретить увеличение их числа. Стипендии в университетах и гимназиях нужно выдавать меньшему числу студентов и школьников, зато в повышенном размере. Следует запретить списание платы за обучение на всех факультетах, кроме теологического, чтобы это благое начинание не привлекало легкомысленных студентов, которые затем станут недовольными гражданами. Я также рекомендовал бы повысить плату за обучение в гимназиях и университетах и позволю себе в этом отношении сослаться на пример Англии, где учеба в высших школах, таких, как Итон и Хэрроу, а также университетов, обходится в значительные суммы. Я считаю это важным преимуществом, поскольку посещение высших школ становится невозможным для людей, уровень образования которых превышает уровень их жизни и становится источником недовольства. Рука об руку с ограничением числа высших школ, ориентированных на воспитание интеллектуалов, должно идти создание ремесленных и профессиональных училищ, а также устранение предрассудка, будто бы карьера в ремесле, промышленности или торговле менее почетна.

Однако посещение высших школ слишком большим количеством молодых людей является не единственным недостатком нашей системы образования.

Сам вид и стиль обучения в этих школах нуждается в реформах. Во всех наших школах - от гимназии до сельской народной школы - существует нездоровое преобладание материала, который требуется запоминать. Результатом становится перегруз памяти ввиду механического накопления знаний. При этом слишком мало внимания уделяется воспитанию характера и духа для самостоятельного мышления. Эти недостатки наряду с нехваткой физических упражнений были бы еще более заметны, если бы военная служба не исправляла многие проблемы, вызванные как школой, так и домашним воспитанием и перегрузкой учеников.

Стремление ставить акцент больше на знания, чем на навыки, уже сейчас обнаруживает свои недостатки в народной школе. Здесь существует постоянная тенденция к расширению учебного материала и превышению того объема, который установлен законом. В результате вместо того, чтобы готовить ученика к практической жизни, школа отчуждает его от предстоящих ему задач и от тех условий, в которых живут его родители. Уже сейчас растет число тех, кто выносит из стен школы убеждение, что они слишком хороши для той работы, которую делали их отцы, потому что их уровень образования выше. В особенности умные дети, добившиеся в школе успехов, рискуют стать жертвами стремления выйти за пределы той жизненной сферы, в которой находятся их родители. В случае неудачи они пополняют ряды недовольных. Нынче в сельской местности слишком много тех, кто, получив хорошее образование, не хочет работать сам, а лишь руководить работой других - и слишком мало тех, кто готов работать".

Источник: Bismarck O.v. Gesammelte Werke. Abteilung III. Schriften. Bd. 8. Paderborn, 2014. S. 642-644.
Паук С.В.

коммменты к Кардано, ссылку не хватило ума прикрутить

[User Picture] From: regent
2019-11-15 03:41 pm (local)
Track This
(Link)

Спасибо. Очень хорошая статья.
Вообще, когда специалисты сеют в зрительской массе доброе, разумное и вечное, это цель высокая и благородная. Я недавно попробовал — оказалось, что и самому приятно.
Особенно если учесть существование таких товарищей, что и отрицательные числа считают богопротивными, не говоря уже о комплексных.
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 05:06 pm (local)
Track This
(Link)

Я, собственно, написал не о том, чем комплексные числа хороши (рудиментарный пост об этом - по одной из ссылок в начале текста). Я писал о том, как человечество докопалось до них.

Грубая аналогия, - забор, за которым живёт сука. Пока у неё течки нет, всем проходящим кобелям наплевать, ну, побрешут немного, услышат в ответ что-нибудь грубое, и всё.

А вот если у суки течка открылась! В этот момент все правила игры меняются. Мало того, что забор обоссут до высоты человеческого роста, так ещё и непременно кто-нибудь из кобелей или перепрыгнет через забор, или подроет его, или улучит момент, когда калитка не заперта...

Вот формула Тартальи и оказалась такой беременной сукой.

Никого не хотел обидеть, если что.

(Нашу прошлую собаку мы не стерилизовали, поэтому данное описание не метафора, а трудный жизненный опыт).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: profi
2019-11-15 03:58 pm (local)
Track This
(Link)

Хорошо! И про долбомера тоже напишите.
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 04:55 pm (local)
Track This
(Link)

А кто такой долбомер?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: taki_terrier
2019-11-15 06:32 pm (local)
Track This
(Link)

Даламбер?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: profi
2019-11-15 07:23 pm (local)
Track This
(Link)

Опа! Вы что, матан в Гарварде учили? Или студнческий слэнг забыли?
Д'Аламбер же! :-))))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 08:09 pm (local)
Track This
(Link)

А что про него писать? Был такой певец кипячёной и ярый враг воды сырой...
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: livejournal
2019-11-15 05:03 pm (local)
No title
Track This
(Link)

User sspr referenced to your post from No title saying: [...] https://xaxam.livejournal.com/1208427.html [...]
(Reply) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-15 05:33 pm (local)
Track This
(Link)

А кто тут на фото?
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 05:53 pm (local)
Track This
(Link)

Заика.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: victor_chapaev
2019-11-15 05:36 pm (local)
Track This
(Link)

Спасибо, доктор
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 05:52 pm (local)
Track This
(Link)

Расскажите, если после приёма лекарства где-нибудь чесаться начнёт или там сыпь выступит ;-) мне интересно как раз на неожиданные реакции посмотреть, если будут ;-)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: dr_alouette
2019-11-15 06:33 pm (local)
Track This
(Link)

Катющик. Виктор Катющик.
Физик.
Давно ответил на все это.
А вообще умно ли еврею трогать эту тему? Это как кареглазому финансисту жаловаться на дискриминацию со стороны французких "антисемитов". Умней будет обходить эту тему десятой дорогой, подобру-поздорову.
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 06:48 pm (local)
Track This
(Link)

Кто такой Катющик, я, увы, знал и раньше. А вот кто такой доктор Жопоронок, узнал впервые из вашей реплики.

От вас разит-съ.

Edited at 2019-11-15 08:10 pm (local)
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-15 08:44 pm (local)
спасибо !
Track This
(Link)

история кубических корней просто завораживает(:

https://www.ms.uky.edu/~corso/teaching/math330/Cardano.pdf

но если всё таки брать формулы Кардано, то мнимые числа " не очень нужны" так же как и в случае с отрицательным дискриминантом квадратного равнения ?

Так кто же первым показал мнимые числа ? Неужто Тарталья ?
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-15 09:08 pm (local)
Re: спасибо !
Track This
(Link)

Мнимые числа нужны, потому что без них не разобрать случай, когда у уравнения есть три вещественных корня.

В этом-то и психологическая засада: мы зажмуриваемся и не хотим извлекать корни из отрицательных чисел, а алгоритм над нами смеётся и говорит: пока не научишься, хрен найдёшь все действительные решения.

Что такое "показал", я не понимаю. Тарталья нашёл формулу, работающую в части случаев (до него вообще ничего не было). А насиловать радикалы из отрицательных чисел все подряд бросились, когда стало понятно, что без них задачу полностью не решить.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-15 10:30 pm (local)
RE: Re: спасибо !
Track This
(Link)

Изнасилованные радикалы... Сурово.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: spamsink
2019-11-15 10:46 pm (local)
RE: Re: спасибо !
Track This
(Link)

А что, делить многочлен на (икс минус найденный вещественный корень), а потом решать получившееся квадратное уравнение, чтобы найти оставшиеся два, они не пробовали?
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 03:01 am (local)
Re: Re: спасибо !
Track This
(Link)

Теорема Безу - очевидный факт только при использовании современных обозначений. Если уравнения записываются словесно-геометрически, как во времена Тартальи - все становится намного сложнее.

Кстати, формула Тартальи-Кардано тоже была выведена чисто геометрически, современное изложение этот факт заметает под ковер, чтобы не усложнять и не засорять ненужными техническими деталями.

Ну и, правильно понятная формула Кардано дает все три корня. Надо только уметь ее готовить. И комплексные числа в этой готовке - необходимый компонент.

Правда основное применение формулы Кардано - смотреть и любоваться. Практическая ценность только в том, что это сподвигло к поискам формул для уравнений высших степеней и вылилось в создание теории Галуа.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-16 10:47 am (local)
Re: Re: спасибо !
Track This
(Link)

При Δ > 0 формула даёт один вещественный корень, и если поделить на него, получится квадратное уравнение без действительных корней, всё ОК.

А когда Δ < 0, есть три вещественных корня, но "формула" ломается и не даёт (без дополнительных заклинаний) ни одного из них.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: artemn
2019-11-15 11:16 pm (local)
RE: Re: спасибо !
Track This
(Link)

выступлю занудой

>Мнимые числа нужны, потому что без них не разобрать случай, когда у уравнения есть три вещественных корня.

Да и одного достаточно. Если взять x^3=15x+4, то в формуле Кардано надо извлекать корни из отрицательных чисел, чтобы найти единственный вещественный корень.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 03:30 am (local)
Re: Re: спасибо !
Track This
(Link)

Выступили неудачно - действительных корней три :)
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 12:30 am (local)
Re: спасибо !
Track This
(Link)

ну.. историю я не знаю, просто интересно кто первый написал корень из минус единицы или что-то такое и/или начал векторы вращать на плоскости. Ну вот Кардано или Тартилья или кто ещё. Вот вики говорит Кардано ввёл комплексные числа
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
А тот та ссылка выше на пдф , в формулах Тортильи корни из отрицательных рисует.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: roman_kr
2019-11-16 12:33 am (local)
Track This
(Link)

Дух просветительства вселился в Вас к всеобщему удовольствию и наслаждению!!!
(Reply) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 02:44 am (local)
Лишнее белое пятно
Track This
(Link)

Можно долго и справедливо рассказывать гадости про университетское математическое образование, но результанты в общую программу входят.

Правда без указаний, для чего они нужны :), но, наверное, это не баг, а фича, для разделения агнцев, которые сами догадаются, от козлищ.
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-16 10:21 am (local)
Re: Лишнее белое пятно
Track This
(Link)

>>> результанты в общую программу входят.

Совсем не везде, и тема повисает в воздухе, не получив ни мотивации, ни развития.

Возьмите любого студента, слышавшего про теорему Абеля-Руффини, и поспорьте с ним, что для любых двух уравнений пятой степени, не имеющих "явных" решений в радикалах, вы за 10 минут вычислений (или один клик в Матлабе) скажете, есть ли у них общий корень.

Думаю, что ваш собеседник удивится скорее, чем вспомнит про результанты.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 08:31 pm (local)
Re: Лишнее белое пятно
Track This
(Link)

Это скорее проблема студента, чем образования.

А теорема Абеля-Руффини - намного более сложная вещь, чем результанты. Так что если человек не понимает, куда можно приспособить результанты, то он и подавно про теорему Абеля-Руффини только что "слышал".

И да, плохих студентов много, скорее всего большинство. Почему они плохие - от рождения или их испортила школа [и универ], отучившая их думать и приучившая "жрать, что дают" - вопрос интересный.


Кстати, я бесконечно далек от вычислительной математики. И не знаю, применяются ли результанты на практике для решения полиномиальных систем или всякая численная вульгарщина, вроде градиентного спуска [с необходимыми улучшениями и наворотами, чтобы не падать в локальные ловушки], намного практичнее. Предполагаю, что таки практичнее, если не нужен ответ в "точном виде", как корни конкретных полиномов.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-16 08:42 pm (local)
Re: Лишнее белое пятно
Track This
(Link)

>>> я бесконечно далек от вычислительной математики.

Я тоже, но теорема Безу - mustread в моей Книге.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 08:55 pm (local)
Re: Лишнее белое пятно
Track This
(Link)

На практике теоремы Безу, наверное, мало. И нужно что-то типа теоремы Кушниренко об оценке числа решений конкретной системы.

Но я настолько далек от темы, что про теорему Кушниренко знаю только то, что она есть. Даже сформулировать не смогу.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: antontsau
2019-11-16 02:46 am (local)
Track This
(Link)

а еще лет через 300 человеки изобрели электричество, начали к нему писать ТОЭ, и ВНЕЗАПНО обнаружили, как вся эта мнимая заумь, от которой моск пухнет и рукава сзади связывают, описывает даже самую примитивную задачу "есть вот такая цепь, есть вот такое напряжение, какой тут ток, мощность и вообще что за етм происходит". Без комплексных чисел в ТОЭ получается аццкое вуду, "делай вот так и ни в коем случае не задумывайся почему, а то моск свернешь", с комплексными наоборот - все ясно, но моск уже набекрень с самого начала.
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-16 10:23 am (local)
Track This
(Link)

Вся квантовая механика живёт над С. Конечно, в конце нам важна амплитуда, но в уравнение Шрёдингера входит фаза, да так, что не вынуть.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: antontsau
2019-11-16 10:36 am (local)
Track This
(Link)

ну вспомнили, квантмех, ка! От квантмеха уже не рукава завязывают, а сразу, с ходу, тройной укол ставят, даже не разбираясь, а то привыкли руки к топорам... А электротехника со всеми этими косинусами фей, реактивными энергиями и мучительным сложением проводимостей двух параллельных цепей с резисторами и индуктивностями (то есть двух примитивных трансформаторов, включенных в одну розетку) вон она, в пту для электриков, где конь тинь гент 2 и 2 с трудом на калькуляторе складывает.

(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-16 08:34 pm (local)
Track This
(Link)

Одного терпилу на толчке зарубили и сразу "тянутся руки к топорам" :)

И вообще, тут люди приличные, с университетским образованием, и за всякую долгопрудненскую гопоту не в ответе :) Мы, если что, летаем из окошек ГЗ, а не рубим ближнего своего.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture] From: utnapishti
2019-11-16 07:27 am (local)
Track This
(Link)

Наверное, не будет страшным офф-топиком, если я скопирую сюда одну из моих записей:

Я довольно недавно узнал, что существует визуальная интерпретация ("графический способ решения") корней квадратного уравнения f(x)=ax2+bx+c=0 в том случае, когда эти корни не-действительные (иначе говоря, отрицательный дискриминант; иначе говоря, график функции f(x) не пересекает ось x).

Способ такой:



– Рисуем параболу, график f(x).
– Отражаем эту параболу вертикально, относительно её вершины. Получаем другую параболу.
– Новая (отражённая) парабола пересекает ось x. Отмечаем точки пересечения: A и B. Соединяем их отрезком. (Отрезок – синий на рисунке.)
– Прокручиваем этот отрезок на 90 градусов относительно его середины. (Новый отрезок – красный на рисунке.)
– Интерпретируем координаты концов прокрученного отрезка как комплексные числа (т.е. интерпретируем точку (x,y) как комплексное число x+yi).
(Или можно посмотреть на окружность с диаметром AB, тогда концы её вертикального диаметра дадут нужные нам точки.)
– Эти комплексные числа и будут корнями f(x).

Понятно, что с точки зрения "настоящей математики" это почти неинтересно; но мне кажется странным, что эта интерпретация не особенно известна.
(Reply) (Thread)
[User Picture] From: xaxam
2019-11-16 10:54 am (local)
Track This
(Link)

Я бы то же самое сказал без картинок, "кинематически".

Рассмотрим параболу рогами вверх, пересекающую ось ОХ (два вещественных корня), и заставим её ехать вверх равномерно. Корни устремятся навстречу друг другу (все видели?), в какой-то момент столкнутся. Что дальше?

Ответ: они поворачивают на 90 градусов в мнимую плоскость и начинают там разбегаться "с той же (неравномерной) скоростью", с какой сближались раньше.
А всё потому, что |√(-Δ)|=√Δ.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-11-17 09:58 pm (local)
Track This
(Link)

Кроме комплексных (эллиптических) чисел существуют двойные и дуальные (гиперболические и параболические) числа, которым не уделяется столь пристального внимания в сравнении с обычными комплексными и которые не определяются в виде решений каких-то алгебраических уравнений. Также, если определение детерминанта довольно естественно, то определение перманента, то которое встречается в математической литературе, довольно искусственно. А так, да - инквизиторы гонялись за джорданами брунами, но пропустили Кардано. Это, конечно, от невежественности инквизиторов. По тем временам ересь была, видимо, несусветная, но "физический" смысл стал более или менее понятен только в XX веке.
Паук С.В.

(no subject)

https://xaxam.livejournal.com/1208427.html

Я уже писал где-то, а если не писал, то повторю здесь лишний раз, - не жалко. Если б у математиков спросили про то, какие есть доказательства бытия Бога, подавляющее большинство, подумавши, ответило бы - существование комплексных чисел.

Это настолько нетривиальный, богатый и полезный объект, объединяющий такое количество разных важных свойств, что поверить в случайность его существования невозможно, ни принимая антропоцентрический принцип, ни отвергая его. И, насколько мне известно, нет никаких причин, по которым комплексные числа обязаны были бы существовать. Это - дар небес в чистом виде, как бесконечность натуральных чисел или прямые линии.

Однако обнаружили мы этот дар гораздо позже, чем все остальные чудеса света. Мало кто знает, как человечество ткнули носом в них. Общая философия состоит в том, что "новые" числа появлялись, когда обнаруживали уравнения, не имеющие решения в "старых" числах, а нам кровь из носу хотелось, чтобы эти решения были. Отрицательные числа появились как решения уравнений (в современной нотации) x+a=b в случае, когда а > b, и стандартным образом интерпретировались как "долги" или (если х обозначало момент времени в будущем, - "тому назад"). Рациональные числа нужны были, чтобы решать задачу дележа имущества, т.е. уравнения ах=b, стараясь не убивать без надобности, если справа - один кот в сапогах, а слева - три брата. На этом задача построения числовой системы была бы решена, поскольку единственным неразрешимым уравнением оставалось уравнение 0⋅x=b, а оно ну никак не может быть разрешимо по целому ряду причин (см., впрочем, варианты уклонизма).

Но тут пришёл зануда Пифагор со своими штанами и написал уравнение x2=2. И не просто написал, а нарисовал. Вот квадрат, вот его диагональ, - а уравнение решения не имеет. Непорядок. С этого момента начинается история, закончившаяся только к концу 19 века и многажды уже обсуждённая здесь, но не о ней сейчас речь. После тысячелетия доминирования философов и математиков, в начале Нового времени захватили циничные инженеры-практики, а с их точки зрения проблемы просто не было: корень уравнения равен √2, и не о чём разговаривать. И ∛17, и √6.26 - законные числа, подчиняющиеся той же арифметике. Если их нужно подставить в окончательный ответ, чтобы узнать, сколько фунтов пороху надо заряжать в пушку, - на то есть таблицы десятичных приближений с большим числом знаков. Надо было только договориться, что "пишем корень - подразумеваем положительный корень".

Очень многие считают, что комплексные числа появились (довольно быстро после этого) как решения уравнения x2=-1. Но это очевидным образом не так: это уравнение доказуемо не имеет числовых решений, поскольку квадрат любого ненулевого числа положителен! Решать такое уравнение так же бессмысленно, как делить на нуль. Никаких поводов терять сон по ночам, мало ли есть на свете неразрешимых уравнений, которые никому не нужны!

Всё так, но кроме простейших уравнений, бывают уравнения посложнее. Например, квадратное уравнение в общем виде имеет форму x2+px+q=0. K К счастью, его легко преобразовать к более простой форме, сделав замену (подстановку) x=y-p/2. После этой подстановки уравнение на у окажется "простым": y2-Δ=0, где Δ - известный каждому школьнику "дискриминант". Никаких новостей: если Δ > 0, уравнение имеет два разных корня (не забываем, что у корня квадратного есть два значения разных знаков!), если Δ=0 - один "двукратный" корень, если Δ < 0 - корней нет, уравнение неразрешимо.

Вот бы так можно было и с уравнениями более высоких степеней! Начнём с третьей степени. Первый шаг, очевидно, - избавиться от квадратичного члена, он точно такой же, как в случае квадратного уравнения. Останется решить упрощённое уравнение

x3+px+q=0,

одним коэффициентом меньше. Можно ли каким-нибудь трюком избавиться ещё и от первой степени икса?

Долгое время не получалось, пока одному заике (Тарталья) не пришло в голову совершенно контр-интуитивное рассуждение. Почему контр-интуитивное? Понадобится короткое отступление. Помимо уравнений с одним неизвестным, совершенно естественно рассматривать и системы из нескольких уравнений с несколькими неизвестными x,y,z,... Например, системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Или одно уравнение линейное, а другое квадратное. Или оба квадратных. По какой-то загадочной причине в осмысленных задачах число уравнений всегда равно числу неизвестных, но это отдельный предмет для размышления. Но всегда способ решения таких систем один и тот же, - "метод исключения". Берём самое простое уравнение и решаем его "относительно одной из переменных", скажем z, считая остальные параметрами. Полученное решение подставляем в остальные уравнения, и получаем тем самым систему из меньшего (на единицу) числа уравнений, в которой уже нет переменной z. Продолжаем так исключать переменные одну за другой, пока не доберёмся до одного уравнения (пускай и высокой степени) от одной переменной. А уж его будем решать, не щадя сил и средств. Но общий принцип, - "уменьшать число переменных, исключая их из системы" остаётся всегда. Мало кто знает, кстати, что при таком исключении можно обойтись безо всяких радикалов, если делать всё грамотно ("теория результантов", - одно из немногих белых пятен на карте университетской математики, которые очень полезно было бы закрасить).

А трюк Тартальи состоял в том, чтобы поступить ровно наоборот, и заменить одно кубическое уравнение системой из двух уравнений с двумя неизвестными. Казалось бы, задача от этого только усложнится, - ан нет! Полученная система оказалась настолько симметричной, что её можно было решить в явном виде.

Введём вместо икса новые неизвестные y,z и напишем для них "соотношение", - x=y+z. Но это ведь не уравнение, скажете вы? Оно всё ещё содержит икс, а мы хотим систему из двух уравнений только на y,z без всяких иксов. Всё правильно, но давайте подставим их в уравнение третьей степени для икса, (y+z)3+p(y+z)+q=0. Это уже самое настоящее уравнение, в нём можно раскрыть скобки и привести кое-какие подобные члены, получив уравнение с двумя неизвестными:

y3+z3+ (y+z)(3yz+p)+q=0.

Вроде бы ничем не проще, чем исходное кубическое? а это только пока мы не воспользовались свободой выбрать второе уравнение. В этом выборе нас ничто не ограничивает: какое бы "соотношение" (имеющее решения, конечно) мы не написали, если выполнено первое уравнение, то сумма y+z даст нам ответ в исходной задаче. Поступим же мудро и добавим уравнение 3yz+p=0. При таком мудром выборе средний член первого уравнения, произведение (y+z)(3yz+p), попросту исчезнет, и наша система примет гораздо более простую форму

y3+z3=-q, yz=-p/3.

Она уже очень симметричная, но всё ещё непонятно, как её решать. Но решение мгновенно обозначится, если мы возведём второе уравнение в куб и ещё раз введём новые переменные формулами u=y3, v=z3:
u+v=-q, uv=-p3/27.

Тут уж надо быть совсем двоечником, чтобы не увидеть в уравнениях новой системы формулы Виета для корней квадратного уравнения: u,v являются решениями системы если и только если они оба - корни вспомогательного квадратного уравнения

λ2+qλ-(p3/27)=0.

Решив это уравнение старым солдатским способом, мы найдём u,v. Извлекая из них кубические корни, получим y,z. А уж потом, вычислив сумму x=y+z, получим решение исходного кубического уравнения. Та-дамм! Совершенно излишне, кстати собирать все эти обратные вычисления в одну громоздкую формулу с радикалами, которую невозможно запомнить. Гораздо проще запомнить метод, тем более что мы сейчас обнаружим немало мусора, заметённого под ковёр.

Но сначала про разрешимость. Алгоритм есть, но на последнем шаге возникает необходимость решать квадратное уравнение, у которого есть свой дискриминант, Δ=q2+4p3/27. Если он положителен (или равен нулю), то пара u,v вещественных корней единственна с точностью до перестановки местами, из каждого из них единственным образом извлекается вещественный кубический корень (положительный из положительного числа, отрицательный из отрицательного), и получающаяся пара y,z, в сумме даёт нам единственный корень кубического уравнения. Все преобразования алгоритма, как можно проверить, тождественны (над вещественными числами - а других мы пока не знаем), и решения не теряются и не приобретаются.

Да вот беда. Иной раз смотришь на ответ - и не признаёшь знакомое лицо. Рассмотрим уравнение x3+3x-4=0, имеющее, как легко видеть (производная функции положительна) ровно один корень. Подстановкой нетрудно убедиться, что x=1 - корень уравнения. А вот формула наша даёт выражения для u,v равные 2±√5, и проверить, что сумма кубических корней из этих двух радикалов в самом деле равна единице, - задача не так уж простая (на самом деле, эквивалентная решению исходного кубического уравнения: надо показать, возведя в куб, что сумма удовлетворяет уравнению, и воспользоваться единственностью корня). Да, всё непросто, поскольку представление алгебраических чисел радикалами никак не единственно даже тогда, когда оно возможно.

Но настоящая радость открытия подстерегает нас тогда, когда мы вспомним, что у кубического уравнения может быть два, а то и три различных вещественных корня. Наш алгоритм, при всём уважении к Тарталье, не может дать более одного решения, если не выходить за пределы вещественных чисел. Но корни-то есть, и должен же наш алгоритм как-то помогать их найти? Хоть тушкой, хоть чучелом, хоть в совершенно неузнаваемом виде? Что делать, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен? Как-то они должны появляться из "несуществующих" корней вспомогательного квадратного уравнения. А "несуществующие" они, напомним, по единственной причине, - мы не пытались до сих пор извлекать квадратный корень из отрицательных чисел, нужды в этом не было.

А вот сейчас у нас появилась очень убедительная причина думать, что уравнение x2=a при отрицательных а < 0 всё же должно иметь какое-то решение, которое мы смогли бы подставить в дальнейшие формулы и получить вещественные корни кубического уравнения. Раньше мы спокойно ходили мимо забора, на котором было написано а=0 с той стороны, где а положительно, и не было никаких причин заглядывать за этот забор. А теперь мы точно уверены, что по ту сторону тоже живут числа, и эта жизнь намного интереснее, чем с нашей стороны. На самом деле нам достаточно только одного такого числа, корня из минус единицы, если мы настаиваем, чтобы эти "новые корни" подчинялись всем правилам арифметических действий (а иначе как их подставлять в формулы?). Единственное, что мы готовы простить, - эти числа не влезают в рамки порядка "меньше-больше": не будучи ни положительными, ни отрицательными, они должно обитать где-то вне числовой прямой.

Сказано - сделано, обозначим "приёмыша" √(-1) каким-нибудь значком, скажем, ⊡ чтоб его отличать от остальных "нормативных" чисел. Всё, что мы знаем про него - что ⊡2=-1 (квадратик должен напоминать про "материнское уравнение" МУ). Начиная с этого момента, мы сразу имеем массу "гибридных" (комплексных) чисел вида a+b⊡ с очевидными правилами арифметики (а,b- обычные числа). Перемножать гибридные числа надо, раскрывая скобки и пользуясь МУ. Например, (a+b⊡)(a-b⊡)=a2+b2 > 0 - всегда "настоящее" (действительное") число, ненулевое, если a,b не равны нулю одновременно. Значит, чтобы поделить на (a+b⊡), надо умножить на комплексное число (a-b⊡) и поделить результат на ненулевое вещественное число a2+b2.

Всё это вызывает радость у математиков и недоумение у "технарей". Математики радуются, что "обнаружили" новые числа, а технари пока недоумевают, - ну, а где с этого практическая польза? что мы, векторов на плоскости с координатами (a,b) не видали раньше? Математики в ответ могли бы ответить, - вектора на плоскости видали, а вот возможность их перемножать между собой, а не только на вещественные числа, не видали. А это выглядит интересней, чем могло бы показаться на первый взгляд.

Начнём с того, что из формулы для произведения комплексных чисел следует довольно нетривиальное наблюдение. Величина |a+b⊡|=√(a2+b2), обобщающая понятие модуля, или абсолютной величины для вещественных чисел (когда b=0), при перемножении комплексных чисел ведёт себя неожиданно прилично: |zw|=|z|⋅|w| (проверяется возведением в квадрат обеих частей). Значит, если мы хотим разобраться, как устроено умножение наших комплексных чисел, достаточно ограничиться числами с единичным модулем: z=|z|⋅u, где |u|=1. Значит, нас интересует в первую очередь множество U чисел a+b⊡ у которых a2+b2=1.

Посмотрев на такое дело, любой двоешник сообразит, что U - это попросту окружность на плоскости (a,b), у каждого числа на этой окружности есть полярный угол φ (аргумент), определённый с точностью до прибавления целого кратного 2πn, n∈Z, так, что число может быть записано в виде cos φ+⊡sin φ. Перемножение двух чисел, записанных в такой "тригонометрической форме", совершенно неожиданно упрощается при помощи формул для школьной тригонометрии. Ответ проще записать словами: "при перемножении комплексных чисел их аргументы складываются".

Уже одно это наблюдение можно расценивать, как подарок судьбы: совсем недавно мы обсуждали, как мучительно долго давалось человечеству понятие логарифма, которое превращает трудоёмкое перемножение чисел в простое сложение. Для комплексных чисел нам не нужны никакие таблицы, достаточно транспортира ;-) (Шутка. Если мы "слезем" с единичной окружности, нам всё равно понадобится логарифмировать модуль, чтоб полностью заменить умножение сложением. Но в каждой шутке есть доля шутки).

Однако ж бесплатных ланчей не бывает, и задачу извлечения корня никто не отменял (а в алгоритме Тартальи надо извлекать и квадратные, и кубические корни). В докомплексной невинности мы считали, что квадратных корней из отрицательных чисел просто нет, а кубические есть из любого числа, и определены единственным образом. В нашем новом комплексном мире надо заново возвращаться к тому, как решаются уравнения z2=w и z3=w при комплексных значениях правой части w. Как и сказано было, достаточно ограничиться случаем, когда |w|=1, т.е., когда правая часть однозначно задаётся своим аргументом.

Сказанное выше про суммы и произведения означает, что решения обоих типов уравнения описываются тривиально: "аргумент z есть половина (соотв., треть) аргумента w", бери угол ψ, аргумент w, и дели пополам (или на три части), и будет тебе φ, аргумент ответа.

В ответе есть, однако ж, элемент лукавства, и даже два. Половина от угла, определённого с точностью до 2π - два разных числа, отличающихся на π. Треть такого угла - три разных числа, отличающихся на 2π/3, и т.д. Пока углы были кратны π (соответственные точки лежали на вещественной оси), мы могли объехать на кривой козе вопрос о том, какое из двух (трёх) значений считалось "главным", за счёт жонглирования "знаком" (положительный/отрицательный). Как только мы слезаем с вещественной оси и лишаемся этого козыря, приходится признавать все корни равноправными. На самом деле от такой демократии гораздо больше пользы, чем вреда, но об этом в следующий раз.

Второе лукавство, - как делить угол на равные части. На уроках геометрии учили это делать циркулем и линейкой, а на алгебре это вообще не проходили, но если б проходили (как выразить синус и косинус половинного угла), то написали бы квадратные уравнения. А делить угол на три части нельзя: циркулем и линейкой это невозможно, а если писать тригонометрические уравнения, то они сведутся в конце концов к тому самому уравнению третьей степени, с которого всё начиналось. Что делать, бесплатных завтраков не бывает.

Возвращаясь к формуле Тартальи. После того, как мы разобрались, что квадратный корень всегда имеет два значения (вещественных или мнимых), а кубический - целых три, наш алгоритм начинает играть новыми красками. Что особенного есть у невещественных корней квадратного уравнения? (ответ: они комплексно сопряжены, вещественные части у них одинаковы, а мнимые противоположны по знаку). Как извлекать кубические корни из них? (ответ: не абы как, а чтобы корни из сопряжённых величин оставались сопряжёнными). Почему все ответы окажутся вещественными? (ответ: потому, что сумма сопряжённых комплексных чисел вещественна). Без экскурса в комплексную область ничего из этого нельзя было бы даже назвать правильными словами.

Что же должен читатель усвоить из этих баек? Ну, во-первых понять, что когда мы говорим про "явные формулы" для решения уравнений, в них с самого начала заключён самообман. Если в ответе фигурирует ∛17, то это всего лишь метка, указатель на то место, где надо требовать дополнительных разъяснений, что конкретно имеется в виду. Сами по себе "явные формулы" для корней уравнений - всего лишь способ свести общее уравнение высокой степени к "простейшему" уравнению xn=a, и нет ничего особенно мистического или удивительного, что при больших n (5 и больше) такое сведение невозможно. Отдельный вопрос, чем "простейшие" уравнения лучше "произвольных" - тоже интересный, ответ на него даёт теория Галуа, хоть и её излагают подчас в форме, недоступной читателю "от сохи" даже там, где к этому нет никаких препятствий.

Ну, и главное, - комплексные числа никто не придумывал, они сами вламываются в нашу жизнь. Слава Богу!
Паук С.В.

(no subject)

https://medium.com/@sergey_57776/%D0%B2-%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5-%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D0%B0%D1%82%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B-8dcd6d49710d

берем текст, выкидываем все слова, оставляем только запятые, точки и пр. знаки препинания, - только по ним можно вычислить автора


https://medium.com/@sergey_57776/1%D0%B5-%D0%BE%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5-2019-%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B8%D0%B8-%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%8C-%D0%BD%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-fff6e63febd0

Суть всех этих статей в следующем.
Обнаружены сценарии, в которых невозможно доказать, может ли алгоритм машинного обучения решить конкретную проблему.
Этот вывод может иметь огромное значение, как для существующих, так и для будущих алгоритмов обучения.
Обучаемость ИИ не может быть ни доказана, ни опровергнута с использованием стандартных аксиом математики, поскольку это связано с парадоксами, открытыми австрийским математиком Куртом Гёделем в 1930-х годах.

https://miro.medium.com/max/800/1*fGWRDgO-L4OtMZUmx_Eb3Q.jpeg